Nombre dérivé

Définition

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).
Soit \(a\) un nombre de l'intervalle \(I\) et \(h\) un nombre non nul tel que \(a+h\) est aussi dans \(I\).
Le nombre dérivé de \(f\) en \(a\) est la limite, lorsqu'elle existe, du taux de variation   \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) pour \(h\) qui tend vers \(0\).
On le note \(f'(a)\) et on dit que la fonction \(f\) est dérivable en \(a\).

Exemple

Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=x^2\) pour tout réel \(x\).
On va montrer que \(f\) est dérivable en \(1\) et calculer le nombre dérivé \(f'(1)\).
Soit \(h\) un nombre non nul.
Le taux de variation de \(f\) entre \(1\) et \(1+h\) est :
\(\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{(1+h)^2-1^2}{h}=\dfrac{1+2h+h^2-1}{h}=\dfrac{2h+h^2}{h}=\dfrac{h(2+h)}{h}=2+h\).
Ainsi, lorsque \(h\) tend vers \(0\), ce taux de variation tend vers \(2\).
On en déduit que `f` est dérivable en `x=1` et que \(f'(1)\) vaut \(2\).